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統失ニートの再受験日記

大体は海水魚について書きます。統失ですが、医学部再受験しようと思います。

倒立振り子2

倒立振り子を静止されることが、まず第一の目標になるわけですが、そのためには振り子の運動を制御しなくてはなりません。どのような式を使って制御すればよいでしょうか? 

私は工学系でないので、制御のことはあまり詳しくないのですが、一般的に使われる制御方法に、PID制御と極配置法という方法があるようです。前者が古典、後者を現代という位置づけのようです。2つの方法について簡単に調べました。

(1)PID制御

   {u = k_1 e + k_2 \frac{de}{dt} + k_3 \int e dt}

{u}は振り子に与える力、{e}は目標値との偏差(ここでは角度)、{t}は時間、{k_1 , k_2 , k_3}は各パラメータとなります。

第一項は偏差に比例する力を表し、第二項は偏差の微分なので、現在の微小変化=これからの動きの予測から与えるべき力と理解します。第三項は偏差の積分なので、これまでの動きから与えるべき力を表しているといえます。よって、第一項が現在、第二項が未来、第三項が過去の状態をみた式だと理解できます。

{k_1 , k_2 , k_3}に理論的な根拠はありません。なので、この式を使って実際に振り子を倒立させるには、振り子の動きを見ながら{k_1 , k_2 , k_3}を少しずつ変えていって、適切な{k_1 , k_2 , k_3}を設定していくことになると思います。

  

(2)極配置

振り子の運動方程式を解いて、安定解を求める方法です。PID制御と違って理論的根拠があります。ここでは概要を説明します。

まず、振り子の運動方程式に対して、解を以下のように定義します。

   { u = k_1 φ + k_2 \dot φ + k_3 x + k_4 \dot x }

ここで{u}は振り子に与える力、{φ}は振り子角度、{x}は振り子座標、{k_1 , k_2 , k_3, k_4}は各パラメータとなります。

{u}運動方程式に代入し、ラプラス変換を行えば、4つの極の関係式が求まります。これら極は{k_i}の変数として与えられます。従って、任意の指定したい{k_i}を一つ選びその値を決めれば、{k_i}と極との関係式からおのずと他の{k_i}の値が決まるはずです。

従って、極配置でやることは、各センサを用いて振り子の角度、角速度、座標、並進速度を求めて、任意の{k_i}を一つ決め、それらから振り子が安定して立つために与える力{u}を求めればよいわけです。自分で設定した極から{k_i}の値を算出し、与える力を求めます。

 

以上より、PIDは目的が明快な制御方法、極配置は理論的に加える力を設定することで解を決められる強力な制御方法であると言えると思います。

次回は、極配置法をより理解するために、作成した倒立振り子を運動方程式に直してみたいと思います。