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統失ニートの再受験日記

大体は海水魚について書きます。統失ですが、医学部再受験しようと思います。

倒立振り子4(運動方程式続き)

続きです。

さて、微分方程式を解くことになりますが、今回は動きを制御して収束させたい(つまり、振り子角度が0に落ち着いてほしい)ので、ラプラス変換します。ラプラス変換を使うと、逆変換したときに解が{e}の肩に実数部を持つので、収束や発散を表現できます。べっつに一生振動してよたよたしていいわよ。という方はフーリエ変換で構わないと思います。ラプラス変換すると

   {sX(s) - X(0)=(A+BK)X(s)}

すなわち、

   {(sI-(A+BK))X(s) - X(0)= 0}

ここで{det|sI-(A+BK)|} = 0を満たす{s}の解を極といい、ラプラス逆変換したときに実空間で運動を制御する係数となります。{I}単位行列です。これを計算してまとめると、下のようにな結果になります。ちょっと大変ですが、頑張ってください。

   {s^4 -(ck_2 + dk_4)s^3 - (a+dk_3 + ck_1)s^2 + (ad-bc)k_4 s + (ad-bc)k_3 = 0}

さて、極配置法は、解(極)をこちらで設定して、こちらの望む挙動をしてもらう方法です。今は、具体的な値は置いといて、実空間で指数部に{\lambda_i (i=1 \sim 4)}の極を乗っけた動きをしてほしいと願います。つまり自分で{s}の解(極)を配置するわけです。{s}は、

   {(s- \lambda_1)(s- \lambda_2)(s- \lambda_3)(s- \lambda_4)=0 }

を満たしますので、これを展開して係数を比較すれば、極と{k_i}の関係式ができます。比べると、

   {(ck_2 + dk_4) = \sum_{i=1}^4 \lambda_i}

   {-(a + dk_3 + ck_1) = \sum_{ij=1}^4 \lambda_i \lambda_j}

   {-(ad-bc)k_4 = \sum_{ijk=1}^4 \lambda_i \lambda_j \lambda_k  }

   {(ad-bc)k_3 = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \lambda_4 }

という関係式ができます。解析計算はここまでとなります。お疲れ様でした。

 

後は、振り子の慣性モーメント{J}、質量{m}や重心{l}などを測って{a,b,c,d}の具体的な値を求めます。各係数は、

   {a=\frac{m^2 gl}{Jm}},    c=- \frac{ml}{Jm},    b=-\frac{m^2 gl^2}{Jm},    d=\frac{J+ml^2}{Jm}

でしたね。上でも書いたように運動が収束してほしいので、減衰振動となるように{\lambda}の値を{\lambda=-○+○j}と、実数部が負になるように適当に値を入力します。言うまでもなく、実数部は強制、減衰を表し、虚数部は振動を表します。{\lambda}の値を決めれば、それぞれ{k_i}を決まることができます。また、{\lambda}を調整することで、制御過程の様子を変えられますね。

 今回は以上になります。解析計算で参考にしたのはサイトはこちらこちらになります。

 

次回は、実際に値を入力していきましょう。